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实践出题、直觉判断、求异思维——冯康的创新要诀
2009-08-07 | 编辑:

 

冯康国际著名数学家,我国计算数学的奠基人和开拓者。中国科学院院士。19209月生于江苏南京,1993817日在北京逝世。他在大学期间,曾同时攻读电机系、物理系和数学系的课程,1944年毕业于中央大学物理系。研究领域:拓扑群、广义函数、应用数学、计算数学、科学与工程计算。代表性工作:最小几乎周期拓扑群,解决了这一类李群的结构表征问题;建立了广义函数的泛函对偶定理与广义梅林变换基于变分原理的差分格式,独立于西方创始了有限元方法;提出了自然边界归化和超奇异积分方程理论,发展了有限元边界元自然耦合方法;论差分格式与辛几何,系统地首创辛几何计算方法、动力系统及其工程应用的交叉性研究新领域。他主持的有限元方法,获1982年国家自然科学奖二等奖;地震勘探数值方法,获1987年国家科技进步奖二等奖;“哈密尔顿系统的辛几何算法”,获1997年国家自然科学奖一等奖。

 

一、创始有限元方法
  众所周知,自从牛顿创造微积分学并建立近代科学体系以来,数百年间,自然科学和工程技术中的许多问题被归结为微分方程这一数学形式,而微分方程通常难以解析求解。上世纪四十年代以来,由于电子计算机的出现和发展,可以应用差分方法,以差商代替微商,近似求解某些微分方程问题。冯康敏锐地感悟到科学发展进入了新的转折时期,计算数学必将大有可为。1957年他由数学所调到新组建的计算技术研究所任计算数学研究室负责人,其专业方向也由纯粹数学转到计算数学。短短几年,他组织研究室的人员,用已有的差分方法解决了许多有应用背景的微分方程问题。几乎与此同时,冯康的科研小组承担了计算一系列水坝建设中大型弹性力学问题的国家任务。在实际计算过程中,冯康发现现有的计算方法对许多问题的求解并不适用,难以满足工程应用的实际需求。他注意到同一个物理问题可以有多个数学表达形式,而这些数学形式在理论上是等价的。过去人们在求同思维的驱使下,往往只注意早已广为人知的微分方程形式,而不注意其他形式。计算数学家也往往只研究已有的计算格式,或从微分方程形式去构造一些新的差分格式。但冯康并不满足与此。

求异思维使冯康决心创建和发展新的计算方法。既然一个物理问题可以有多个等价的数学表达形式,为什么非从微分方程形式出发呢?他注意到了久被忽视的变分形式。为了克服传统计算方法难以处理几何形状与材料的复杂性,难以保持物理问题的主要特征,冯康开辟了椭圆型方程计算方法的系统研究。在大量计算经验的基础上,通过系统的理论分析及总结提高,把变分原理与剖分逼近有机结合,既保持了物理问题的主要特性,又以“分整为零,裁弯取直,以简驭繁,化难为易”的新思路,妥善解决了几何形状和材料的复杂性问题,创造了一整套从变分原理出发求解椭圆型微分方程问题的数值方法,形成了标准的算法形态,编制了通用的程序,及时解决了当时我国大型水坝的应力分析问题,并于1965年发表了基于变分原理的差分格式一文,在极其广泛的条件下证明了方法的收敛性和稳定性,给出了误差估计,从而奠定了后来在西方被称为有限元的这一新的计算方法的严格数学理论,在计算机远比西方落后的条件下,做出了领先于西方的工作,也为实际应用提供了可靠的理论保证。
  有限元方法成功的关键是合理选取了适合原问题特性的数学形式,这使冯康坚信“理论上等价的,在实践中未必等效”。从不同的数学形式出发,可能发展不同的数值计算方法,并产生不同的计算效果。按照这个思路,上世纪80年代初,冯康从稳态物理问题的计算方法研究,又转向一个全新的研究领域——动力系统计算方法的研究。

二、创造辛算法
  早在60年代,冯康在介绍自己的研究方法时就曾说过:我的计算数学研究都不是从阅读别人的论文开始的,而是从工程或物理原理出发的。他总能以不断实践的科学精神,瞄准国家需求,站在学科前沿,提出有广泛物理、工程背景的新课题,创建有坚实数学理论基础的新方法。

冯康在成功地创始了有限元方法后,提出了哈密尔顿系统的辛几何算法,又开辟了一个有广阔应用前景的全新的研究领域。他为什么要进行这一方向的研究呢?在1991年中国物理学会年会的邀请报告中,冯康提出了这样一些关于动力系统的科学问题:在遥远的未来,太阳系呈现什么景象?行星将在什么轨道上运行?地球会与其它星球相撞吗?他说,也许有人认为,只要利用牛顿定律,按照现有的计算方法编个程序,再应用超级计算机进行计算,经过充分长的时间,总能得到结果。但这样的计算结果可以相信吗?实际上,对这样复杂的计算,计算机或者根本得不出结果,或者得出一个完全错误的结果。即使每一步计算的误差非常小,但误差积累起来会使结果面目全非!这是计算方法问题,机器性能再好也无济于事,编程技巧再高也是无能为力的

动力系统问题不同于椭圆边值问题,有限元方法已不能很好解决此类问题。应该用什么样的计算方法来计算动力系统问题呢?冯康在创始有限元方法的过程中已体会到,同一物理过程的各种等价的数学表述可能导致不等效的计算方法。有限元对椭圆边值问题的成功是因为选择了适当的力学体系和数学形式。有限元不能很好地解决动态问题则是由于拉格朗日力学体系不能很好地反映其本质特征。于是冯康又回到了物理原理。在数学物理方程中列于首位的经典力学方程,有三种等价的数学形式体系:牛顿力学体系,拉格朗日力学体系和哈密尔顿力学体系。其中哈密尔顿体系一直是物理学理论研究的出发点,它的应用涉及物理、力学和工程的众多领域。但是针对哈密尔顿体系的计算方法直至80年代初仍是空白。为什么不能从哈密尔顿系统出发发展新的计算方法呢?于是冯康便开始这一方向的研究,他发现,唯有哈密尔顿力学体系才是可供选择的研究动态问题的最适当的力学体系。由于辛几何是哈密尔顿系统的数学基础,冯康以他特有的数学直觉抓住了设计哈密尔顿系统数值方法的突破口---辛几何方法。他组织研究队伍对哈密尔顿系统的辛几何算法进行系统的理论研究和广泛的数值实验,经过十余年坚持不懈的努力,终于取得了极其丰硕的成果。

现在已知,传统的算法除了少数例外,几乎都不是辛算法,因此不可避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷。而冯康等人提出的为数众多的辛算法却保持了体系结构,特别在稳定性与长期跟踪能力上具有独特的优点。已在我国的动力天文、大气海洋、分子动力学等领域的计算中得到了成功的实际应用。深入的理论分析和大量的数值实验令人信服地表明,辛算法解决了久悬未决的动力学长期预测计算问题。这一类新算法的出现甚至已改变了某些学科方向的研究途径,也将在更多的领域得到更广泛的应用。

 

撰稿人:数学与系统科学研究院研究员 余德浩

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