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(万昕)证明了秩为1时的BSD公式和椭圆曲线的Iwasawa主猜想
2018-10-31 | 编辑:华罗庚数学中心

  BSD猜想是Clay数学研究所设定的7大千禧年难题之一。具体说BSD猜想是研究定义在有理数域上的椭圆曲线E的算术和它的解析L函数LE, s)在s=1时的性质之间的关系的。这是一种极其深刻的关系。它分为两部分(1)秩部分(2)精细BSD公式。人们现有的工具能够研究当L函数s=1时的秩r01时的情形。此时BSD猜想的秩部分由著名的Gross-Zagier公式和Kolyvagin的工作得到证明。 

  对于精细BSD公式,证明的基本想法是:只要证明BSD公式的p部分对任意素数p成立即可。因此可以用p进的方法研究。Iwasawa理论就是研究这个问题的p进性质的一门学科。这时可以把问题划分为两种情况:E关于p的约化是正规的或者不正规的。两种情形的性质大不一样。后者(即非正规情形)要困难许多。在正规情形,KatoSkinner-Urban证明了对应的Iwasawa主猜想从而推出了r0时的BSD公式。另外同样在正规情形,张伟证明了r1时的BSD公式。 

  本工作证明了任意情形(包括非正规情形)当r01时的BSD公式,并证明了椭圆曲线的Iwasawa主猜想。证明方法与前人的很不一样,把自守形式的研究和欧拉系以及局部表示论的方法结合了起来,这让我们得以克服非正规情形的困难。在最近我们还将这些结果从椭圆曲线推广到了一般权的模形式情形。 

  与本成果相关的论文: 

  1. Dimitar Jetchev, Christopher Skinner and Xin Wan, The Birch-Swinnerton-Dyer Formula for Elliptic Curves of Analytic Rank One, Cambridge Journal of Mathematics, 5(3), 369–434, 2017. 

  2. Xin Wan, Iwasawa Main Conjecture for Supersingular Elliptic Curves, arXiv: 1411.6352. (2017 major revised version). 

  3. Xin Wan, Iwasawa Main Conjecture for Non-Ordinary Modular Forms, arXiv:1607.07729. 

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