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偏微分方程约束形状优化问题的高精度边界型形状导数(龚伟)
2023-01-13 | 编辑:

  形状优化在计算科学与工程领域具有重要的应用,如何设计满足给定目标及物理约束的区域最优形状是一个具有百年研究历史的重要课题。形状导数是构造形状优化算法的关键所在,其不仅刻画了目标泛函关于区域的扰动变化率,还为形状梯度下降算法提供下降方向,其精度严重影响形状优化算法的收敛性本人与合作者最近在形状优化问题的离散形状导数方面取得了重要进展。形状优化问题的形状导数具有两种表示方式,一类基于区域积分,另一类基于边界积分,它们在连续的情形下是等价的。边界型形状导数因为其具有好的结构及其在形状优化算法应用中的便利性,长期以来在形状优化领域占据主导地位,但是在离散的层面人们最近发现区域导数相对边界导数具有更高的精度。针对离散边界型形状导数,我们对于Dirichlet边值问题找到了精度损失的原因,并提出了一类修正的形状导数公式,证明了其具有和区域型离散形状导数同样的精度。进一步,我们对于Neumann边值问题证明了区域形状导数和边界形状导数具有同样的精度,从理论上解释了文献中观测到的数值结果。我们把修正的形状导数公式应用于各类形状优化问题中,取得了良好的效果。

   
  相关论文:

  [1]    Wei Gong, Jiajie Li and Shengfeng Zhu, Improved discrete boundary type shape gradients for PDE-constrained shape optimization. SIAM J. Sci. Comput., 44(2022), no. 4, A2464-A2505.  

  [2]  Wei Gong and Shengfeng Zhu, On discrete shape gradients of boundary type for PDE-constrained shape optimization. SIAM J. Numer. Anal., 59(2021), no. 3, 1510-1541. 

  

  负责人:
  龚伟
  Email: wgong@lsec.cc.ac.cn
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