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拟熵及在液晶理论中的应用(徐劼)
2023-01-13 | 编辑:

  液晶态的主要特征是局部各向异性。在理论上,通常利用指向矩张量作为序参量来描述之,一般情形中需要多个张量。对应的自由能可看作由熵和相互作用项(通常只包含分子对作用)两部分组成。相互作用项可通过展开得到,其中序参量的选择(Jie Xu, SIAM J Appl Math, 2020)和分子对作用的形式(Jie Xu, Jeff Z. Y. Chen, Physical Review E, 2020Jie Xu, CSIAM Trans Appl Math, 2022)已按分子对称性分类完全解决;在稍早工作中也已明确,相互作用项系数可由分子参数导出。但是,熵的处理仍然存在本质的困难。常用的多项式展开须至少到四次,在张量个数多于一个时,包含的项数太多,使其很难给出一个合理简洁的能量;而且,多项式不能将张量限制在有物理意义的范围内。另一种方式为利用极大熵态的密度函数,这种方式能够规避上述两个问题,但是其定义牵涉三维积分给出的隐函数,分析和计算都十分困难。此外,在基于分子理论的动力学模型中,一般情形下封闭近似(由低阶矩给出高阶矩)也需要通过极大熵态给出,而其计算也是长期困扰人们的重大难题。虽然目前已发展出一些针对棒状分子单个张量这一特殊情形的快速算法,但其难以推广,且并不易于利用其构造模型求解的数值方法。总而言之,熵的相关项的选择和计算困难对液晶的理论研究构成极大阻碍。 

  为了解决这一困难,我们提出拟熵这类初等函数(Jie Xu, Physica D, 2022),作为熵的替代。简单地讲,拟熵由协方差矩阵的对数-行列式函数给出。我们证明,拟熵具有熵应当具有的四个重要性质:严格凸性;协方差矩阵正定性;旋转不变性;对称性相容。特别地,所有分子对称性的拟熵都可通过统一的约化得到而非单独构造。此外,我们在若干重要情形下验证了拟熵能够正确把握参数变化下应当展现的物理机制:对于棒状分子,其均匀态稳定点具有单轴性,且给出各向同性到向列相的一阶相变;香蕉形分子空间均匀相相图与使用原始熵非常接近。进一步地,我们利用拟熵给出了描述四面体和八面体相相变的简洁的双标量模型。 

  拟熵的简单形式及其良好性质带来了很多好处,目前我们已在两方面取得结果。一方面,可以利用拟熵方便地设计数值格式。对于梯度流方程,我们利用其严格凸性和协方差矩阵正定性,自然地得到无条件保持张量的物理范围和能量耗散性质、简单高效的数值格式(Yanli Wang, Jie Xu, J Sci Comput, 2023)。而此前还未有如此性质良好的数值格式。另一方面,拟熵给出了新的封闭近似方法。我们利用之从基于分子理论的香蕉形分子张量模型导出双轴相的标架动力学模型(Sirui Li, Jie Xu, SIAM J Appl Math, to appear),首次给出针对特定分子构型的双轴动力学。在推导中,旋转不变性和对称性相容确保了高阶张量的正确形式,进而确保了模型最终的正确形式。

  

  相关论文:

  [1]    Jie Xu, Quasi-entropy by log-determinant covariance matrix and application to liquid crystals, Physica D, 435, 133308(2022).  

  [2]    Jie Xu, Symmetry-consistent expansion of interaction kernels between rigid molecules, CSIAM Trans Appl Math, 3(3), 383-427(2022).  

  [3]    Yanli Wang, Jie Xu, Q-tensor gradient flow with quasi-entropy and discretizations preserving physical constraints, J Sci Comput, 94, 9(2023).  

  [4]    Sirui Li, Jie Xu, Frame hydrodynamics of biaxial nematics from molecular-theory-based tensor models, SIAM J Appl Math, to appear. 

  完成人:
  徐劼
  Email: xujie@lsec.cc.ac.cn
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